Differentialgleichungen 1. Ordnung. Einführung, Lösung and Anwendungen PDF

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Författare: Marco Husinsky.

Facharbeit (Schule) aus dem Jahr 2010 im Fachbereich Mathematik – Mathematik als Schulfach, Note: 15, , Veranstaltung: Facharbeit, Sprache: Deutsch, Abstract: Selbstverständlich kann ein Werkzeug, das der Wissenschaft so viele Türen öffnet, in einer Facharbeit nicht vollständig erschlossen werden. Hierfür bräuchte es ein Studium mit mathematischem Schwerpunkt, dennoch bietet diese Facharbeit einen Einstieg in die Tiefen dieser Thematik. Die folgenden Seiten definieren wichtige Begriffe, zeigen erste Lösungsmöglichkeiten und bieten einen kleinen Einblick auf anwendungsorientierte Aufgabestellungen. Die in der Facharbeit besprochenen Modelle werden durch ausgewählte Grafiken, ausführlich durchgerechnete Herleitungen und Beispiele, sowie durch ein selbst geschriebenes Java-Programm vertieft.
Um den Anforderungshorizont nicht zu sprengen, wird der Schwerpunkt auf "gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung" gesetzt.

Zur Worksheetsammlung Maple 6 bis Maple 9. Was ist modern an dieser Physik? Buch von der klassischen Physik Newtons und Huygens zur Quantenphysik von Feynman. Worksheets findet man etwas zur Interferenz? Dokument ausgeben lassen und mit einem WWW-browser lesen. Maple-Programm, mit dem das vorliegende Dokument erstellt wurde mitgeliefert.

Eine Liste der Worksheets finden Sie am Ende des Dokuments. 1 Worksheets laden und speichern . 1 Speichern und laden von Prozeduren . 6 Der Grundgedanke der Differential- und Integralrechnung . 2 Klassische Beispiele der Mikrophysik . Mit der Fourier-Transformation hat die Laplace-Transformation einige Gemeinsamkeiten.

So gibt es zur Laplace-Transformation ebenfalls eine inverse Transformation, die auch Bromwich-Integral genannt wird. Die Laplace-Transformation und deren Inversion sind Verfahren zur Lösung von Problemstellungen der mathematischen Physik und der theoretischen Elektrotechnik, welche mathematisch durch lineare Anfangs- und Randwertprobleme beschrieben werden. 0 geht und so für hinreichend große t die Konvergenz sicherstellt. Die Laplace-Transformation bildet Originalfunktionen einer reellen Veränderlichen auf Bildfunktionen einer komplexen Veränderlichen ab. Bei Existenz der Laplace-Transformation entspricht die Differentiation und Integration im reellen Originalbereich einer einfachen algebraischen Operation im Bildbereich, was die praktische Bedeutung begründet. Die Untersuchung der Bildfunktion liefert häufig wesentlich bessere physikalische Einblicke in das Verhalten linearer Systeme gegenüber Studien im Zeitbereich. Vor allem das Resonanzverhalten physikalischer Systeme kann im Frequenzbereich einfacher beschrieben werden.

Probieren gefundene Operatorenrechnung zur Lösung von Differentialgleichungen in der theoretischen Elektrotechnik an. Dieser Integraloperator wird auch Bromwich-Integral genannt und ist nach dem Mathematiker und Physiker Thomas John I’Anson Bromwich benannt. Bekannte Rücktransformationen sind in der Literatur in Korrespondenztabellen zusammengefasst. In der Praxis muss daher die Spektralfunktion meist nur auf diese tabellierten Fälle zurückgeführt werden, z.

Allgemein bietet sich die Laplace-Transformation zur Lösung von linearen Differentialgleichungen bzw. Die Lösungen der transformierten Probleme lassen sich im Bildbereich wesentlich einfacher erarbeiten als im Originalbereich. In Sonderfällen können auch lineare Differentialgleichungen mit Polynomkoeffizienten so gelöst werden. Besonders effizient eignet sich die Laplace-Transformation dazu, Anfangswertprobleme zu lösen, da die Anfangswerte in die Bildgleichung eingehen.

Man transformiert die Differentialgleichung in den Spektralbereich, löst die so erhaltene algebraische Gleichung und transformiert die Lösung in den Zeitbereich zurück. Der Nachteil ist die im Allgemeinen meist komplizierte Rücktransformation. In Maschinenbau und Elektrotechnik, speziell in der Regelungstechnik spielt die Laplace-Transformation vor allem aufgrund des Faltungssatzes eine große Rolle. Die Laplace-Transformation ist eine ähnliche Integraltransformation wie die Fourier-Transformation. Diese Integraltransformation wird manchmal auch einseitige Fourier-Transformation genannt. Halbebene analytisch fortsetzbar sein, aber nicht zwingend. Eine solche analytische Fortsetzung lässt sich dann aber nicht mehr als Laplace-Transformierte schreiben.

Frequenzebene analytisch ist, also keine Singularitäten besitzt. Die Störgröße kann an allen Teilen der Regelstrecke angreifen, meistens jedoch am Ausgang. Stellglied und Messglied müssen im Regelkreis berücksichtigt werden, wenn sie ein nicht vernachlässigbares Zeitverhalten haben oder von der idealen Kennlinie abweichen. Regler über die Stellgröße wirken soll. Die Regelstrecke kann als dynamisches System aus einer Kette von meist unbekannten Einzelsystemen bestehen, deren Ausgangsgröße über ein Messglied gemessen und über einen Soll- Istwertvergleich an den Regler zurückgeführt wird. Das Stellglied als Schnittstelle zwischen Regler und Regelstrecke kann Bestandteil der Regelstrecke, des Reglers oder ein eigenständiges Gerät sein.

Mathematisch wird die Regelstrecke als Übertragungssystem definiert. Die Übertragungssysteme können lineares und nichtlineares Verhalten aufweisen. Um den Regler für anspruchsvolle Regelaufgaben auslegen zu können, ist es nötig, die Regelstrecke zu identifizieren. Dies geschieht über die Erstellung eines mathematischen Modells der Regelstrecke, das möglichst genau das zeitliche Verhalten der Regelstrecke wiedergeben soll. Anzahl der Systemspeicherelemente der Strecke wieder.

Damit kann das einseitige Laplace-Integral verwendet werden. Für die Transformation aus dem Zeitbereich in den s-Bereich existieren mehrere Lehrsätze wie Verschiebesatz, Dämpfungssatz, Differentiationssatz, Integrationssatz, Faltungssatz, Grenzwertsätze. Diese Laplace-Lehrsätze sind in jedem Fachbuch der Regelungstechnik beschrieben. Systemanalyse, Systemsynthese, Systemstabilität und erlaubt die algebraische Behandlung von beliebig geschalteten rückwirkungsfreien Teilsystemen. Pol-Nullstellen-Diagramm ist eines der wichtigsten Kriterien zur Bestimmung der Stabilität eines Systems.

Sie erlaubt beliebige algebraische Operationen im s-Bereich, ist aber nur ein Symbol für eine vollzogene Laplace-Transformation und enthält keinen Zahlenwert. Exponenten von s entsprechen dem Grad der Ableitung der Differentiale. Pole können Null, real oder konjugiert komplex sein. Zahl nach der inversen Transformation das Zeitverhalten eines Teilsystems im Zeitbereich. Polynom freistellen und bedeutet je nach Lage im Zähler oder Nenner ein globales differenzierendes oder integrierendes Systemverhalten im Zeitbereich.